绝对值的几何意义 · 动画讲解
|A − B| 表示数轴上数 A 与数 B 对应点之间的距离。
拖动橙色点 x，看「和」怎么变
思路：数轴上两点间的距离 = 两数之差的绝对值，即 |a − b|。
−4 与 1 的距离 = |−4 − 1| = |−5| = 5，
也可以写成 |1 − (−4)| = |5| = 5。
两种写法结果相同，因为 |a − b| = |b − a|：距离没有方向。
−4 与 1 的距离 = |−4 − 1| = |−5| = 5，
也可以写成 |1 − (−4)| = |5| = 5。
两种写法结果相同，因为 |a − b| = |b − a|：距离没有方向。
几何解法：|x − 3| = 2 读作「x 到 3 的距离等于 2」。
从 3 出发向左走 2 格 → 1；向右走 2 格 → 5。
代数解法：|x − 3| = 2 ⟹ x − 3 = 2 或 x − 3 = −2 ⟹ x = 5 或 x = 1。
答：x = 1 或 x = 5。
在折线图上就是：折线 y = |x − 3| 与水平线 y = 2 有两个交点。
从 3 出发向左走 2 格 → 1；向右走 2 格 → 5。
代数解法：|x − 3| = 2 ⟹ x − 3 = 2 或 x − 3 = −2 ⟹ x = 5 或 x = 1。
答：x = 1 或 x = 5。
在折线图上就是：折线 y = |x − 3| 与水平线 y = 2 有两个交点。
几何意义：|x − 2| 是 x 到 2 的距离，|x + 3| = |x − (−3)| 是 x 到 −3 的距离。
而 2 与 −3 这两点本身相距 2 − (−3) = 5。
分三种情况（对照动画里的拼接条）：
① x < −3（在左外侧）：和 = (2 − x) + (−3 − x) = −2x − 1 > 5；
② −3 ≤ x ≤ 2（在两点之间）：和 = (2 − x) + (x + 3) = 5，恒等于 5；
③ x > 2（在右外侧）：和 = (x − 2) + (x + 3) = 2x + 1 > 5。
所以解集是 −3 ≤ x ≤ 2（折线图上那段「平底」）。
其中整数有 −3、−2、−1、0、1、2，共 6 个。
和 = (−3) + (−2) + (−1) + 0 + 1 + 2 = −3
而 2 与 −3 这两点本身相距 2 − (−3) = 5。
分三种情况（对照动画里的拼接条）：
① x < −3（在左外侧）：和 = (2 − x) + (−3 − x) = −2x − 1 > 5；
② −3 ≤ x ≤ 2（在两点之间）：和 = (2 − x) + (x + 3) = 5，恒等于 5；
③ x > 2（在右外侧）：和 = (x − 2) + (x + 3) = 2x + 1 > 5。
所以解集是 −3 ≤ x ≤ 2（折线图上那段「平底」）。
其中整数有 −3、−2、−1、0、1、2，共 6 个。
和 = (−3) + (−2) + (−1) + 0 + 1 + 2 = −3
几何意义：|x − 3| 是 x 到 3 的距离，|x + 4| = |x − (−4)| 是 x 到 −4 的距离。
所以这个式子 = x 到 3 的距离 + x 到 −4 的距离；而 3 与 −4 本身相距 3 − (−4) = 7。
分三种情况去绝对值（对照折线的三段）：
① x < −4：|x − 3| = 3 − x，|x + 4| = −x − 4，
和 = (3 − x) + (−x − 4) = −2x − 1，x 越小和越大（左边那条向左上升的斜线）；
② −4 ≤ x ≤ 3：|x − 3| = 3 − x，|x + 4| = x + 4，
和 = (3 − x) + (x + 4) = 7，x 抵消掉了，是常数（中间那段「平底」）；
③ x > 3：|x − 3| = x − 3，|x + 4| = x + 4，
和 = (x − 3) + (x + 4) = 2x + 1，x 越大和越大（右边向右上升的斜线）。
答：最小值为 7，当 −4 ≤ x ≤ 3 时都能取到。
验证几个点：x = −5 → 8 + 1 = 9；x = −4 → 7 + 0 = 7；x = 0 → 3 + 4 = 7；x = 3 → 0 + 7 = 7；x = 5 → 2 + 9 = 11。
规律：|x − a| + |x − b| 的最小值 = |a − b|，在 a 与 b 之间（含端点）取到； 而 |x − a| − |x − b| 的最大值是 |a − b|、最小值是 −|a − b|。
所以这个式子 = x 到 3 的距离 + x 到 −4 的距离；而 3 与 −4 本身相距 3 − (−4) = 7。
分三种情况去绝对值（对照折线的三段）：
① x < −4：|x − 3| = 3 − x，|x + 4| = −x − 4，
和 = (3 − x) + (−x − 4) = −2x − 1，x 越小和越大（左边那条向左上升的斜线）；
② −4 ≤ x ≤ 3：|x − 3| = 3 − x，|x + 4| = x + 4，
和 = (3 − x) + (x + 4) = 7，x 抵消掉了，是常数（中间那段「平底」）；
③ x > 3：|x − 3| = x − 3，|x + 4| = x + 4，
和 = (x − 3) + (x + 4) = 2x + 1，x 越大和越大（右边向右上升的斜线）。
答：最小值为 7，当 −4 ≤ x ≤ 3 时都能取到。
验证几个点：x = −5 → 8 + 1 = 9；x = −4 → 7 + 0 = 7；x = 0 → 3 + 4 = 7；x = 3 → 0 + 7 = 7；x = 5 → 2 + 9 = 11。
规律：|x − a| + |x − b| 的最小值 = |a − b|，在 a 与 b 之间（含端点）取到； 而 |x − a| − |x − b| 的最大值是 |a − b|、最小值是 −|a − b|。