多个绝对值之和的最小值
拖动滑杆改变 x 的值,观察 f(x) 如何变化 — 感受个数奇偶性带来的差异
f(x) = |x − 2| + |x − 5|
2
偶数
快速示例:
当前 f(x) = 3.00
理论最小值 3
· 在 x = [2, 5] 时取得
📘 当前规律 — 偶数个绝对值 (n = 2)
当 n 为偶数时,把所有点从小到大排序为 a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an,
则 x 取中间两点 [an/2, an/2+1] 之间任意值时 f(x) 取到最小值,
最小值等于「首尾配对差之和」:
(an − a1) + (an−1 − a2) + ...
几何意义: |x − a| 表示数轴上 x 与 a 两点之间的距离。
所以 f(x) = |x − a1| + |x − a2| + ... + |x − an|
的几何意义是 —— 数轴上一个动点 x 到 n 个固定点 a1, a2, ..., an 的距离之和。
核心结论 (奇偶分开记):
- n 是奇数 → x 取正中间那个点 a(n+1)/2 时最小,取值唯一
- n 是偶数 → x 取中间两点之间的任何值都能达到最小,是一段区间
- 把括号里的常数 a1, a2, ..., an 从小到大排序
- 数一下有几个绝对值 (n),判断奇偶
- 若 n 为奇数:取 x = a(n+1)/2 (正中间的点)
- 若 n 为偶数😡 ∈ [an/2, an/2+1] 都是解
- 最小值 = (an−a1) + (an−1−a2) + ... 依次首尾配对相减
例: 求 |x − 1| + |x − 3| + |x − 8| 的最小值。
解: 有 3 个绝对值 (奇数),排序后中间是 3,取 x = 3。
最小值 = (8 − 1) + (3 − 3) = 7。
🎯 试试点上方「快速示例」里的按钮,亲手拖动滑杆验证!
用零点分段法把绝对值一段一段拆开,每段化简成一次函数,再看每段的单调性,取最小值。
👉 会跟着当前的 f(x) 一步步推导,点「下一步」逐步显示。
👉 会跟着当前的 f(x) 一步步推导,点「下一步」逐步显示。
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